A massa da Via Láctea como uma função da distância de seu centro
Massa do disco visível – Massa ausente – Equações baseadas em anéis – Raio galáctico
A massa visível do disco da Via Láctea pode ser modelada pela adição da massa de seus principais componentes: o disco estelar fino, o disco estelar espesso, o gás de hidrogênio atômico HI e o gás de hidrogênio molecular H₂.
A massa do disco visível é escrita como:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)A parte mais simples e mais útil é a massa do disco estelar:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)- r é a distância do centro galáctico em quiloparsecs, ou kpc.
- M é a massa em massas solares, M⊙.
Essa equação fornece a massa estelar visível do disco da Via Láctea dentro do raio r.
A massa ausente é então obtida pela comparação da massa visível com a massa dinâmica:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Em unidades astronômicas práticas:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5\,v_c^2(r)\,r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)comvc(r) em km/s, r em kpc e massa em M⊙.
A equação final da massa do disco visível
O disco visível da Via Láctea é composto de estrelas e gás. Nós escrevemos:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Os dois principais componentes estelares são o disco estelar fino e o disco estelar espesso.
Os dois componentes do gás são o hidrogênio atômico, HI, e o hidrogênio molecular, H₂.
A equação mais limpa é a equação do disco estelar:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)Totalmente escrito:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Essa é a principal equação para a massa do disco estelar visível da Via Láctea.
Por que o disco da Via Láctea é modelado com anéis
O disco da Via Láctea não é uma esfera sólida. Ele está mais próximo de um grande disco achatado.
Para calcular sua massa, nós a dividimos em vários anéis circulares finos.
Um anel de raio r tem circunferência:
\(2\pi r\)Se o anel tiver uma largura pequena dr, então sua área será:
\(dA=2\pi r\,dr\)Se a densidade de massa da superfície for Σ(r), então a massa do anel é:
\(dM=\Sigma(r)\,2\pi r\,dr\)Essa é a ideia principal.
A massa total dentro do raio r é obtida pela soma de todos os anéis do centro galáctico até r:
\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma(R)\,R\,dR\)Portanto, a massa do disco não é construída a partir de conchas esféricas. Ela é formada por anéis circulares.
O disco exponencial
A densidade da superfície das estrelas em um disco galáctico é geralmente modelada como uma função exponencial:
\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)- Σ0 é a densidade de massa da superfície central.
- Rd é o comprimento da escala do disco.
- r é a distância do centro galáctico.
Isso significa que o disco é mais denso próximo ao centro e se torna menos denso à medida que r aumenta.
Substituindo a densidade de superfície exponencial na equação do anel, obtém-se o seguinte
\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)Resolvendo a integral, obtém-se:
\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)Essa é a fórmula fundamental da massa do disco.
Componente 1 – O disco estelar fino
O disco fino é a parte brilhante, plana e formadora de estrelas da Via Láctea. Ele contém estrelas jovens, muitas estrelas semelhantes ao Sol, braços espirais, gás, poeira e regiões ativas de formação de estrelas.
Para o disco fino, usamos:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)Desde então:
\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)nós convertemos:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)A massa do disco fino dentro do raio r é:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)Portanto:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)Em um raio muito grande:
\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)Componente 2 – O disco estelar espesso
O disco espesso é mais antigo e mais extenso verticalmente. Ele contém estrelas mais antigas que se movem mais acima e abaixo do plano galáctico.
Para o disco grosso, usamos:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)Conversão da densidade da superfície:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)A massa do disco espesso dentro do raio r é:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Portanto:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)Em um raio muito grande:
\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)Total Stellar Disk Mass (massa total do disco estelar)
Adicionando os discos finos e grossos:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)Então:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)A massa total do disco estelar é:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)Portanto, o disco estelar visível da Via Láctea contém cerca de 45,7 bilhões de massas solares.
Adição do disco de gás
O disco da Via Láctea também contém gás visível. Os dois principais componentes do gás são o hidrogênio atômico, HI, e o hidrogênio molecular, H₂.
O gás não é modelado como um disco exponencial simples porque tem uma depressão central. Uma forma útil é:
\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)- Rm é a escala do orifício central.
- Rd é o comprimento da escala radial.
A massa dentro do raio r é:
\(M_{\mathrm{gas}}(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{R}-\frac{R}{R_d}\right)R\,dR\)Gás hidrogênio atômico: HI
Para hidrogênio atômico:
\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)Uma equação normalizada é:
\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}M_\odot\)Isso dá a fração da massa total de gás HI contida no raio r.
Gás hidrogênio molecular: H₂
Para hidrogênio molecular:
\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)A equação de massa normalizada é:
\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}M_\odot\)Equação completa do disco visível
A equação completa do disco visível é:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Escrito integralmente:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}+1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\)- r e R estão em kpc.
- M está em M⊙.
Essa equação fornece a massa do disco visível da Via Láctea dentro de um raio r.
Massa dinâmica da rotação
A velocidade de rotação observada da Via Láctea nos diz quanta massa é necessária gravitacionalmente.
Para movimentos circulares:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)- vc(r) é a velocidade circular no raio r.
- G é a constante gravitacional.
Em unidades práticas:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)Se a velocidade de rotação for aproximadamente plana:
\(v_c(r)\approx233\,\mathrm{km/s}\)Então:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq2.325\times10^5(233)^2r\,M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq1.26\times10^{10}r\,M_\odot\)com r em kpc.
Isso significa que, se a curva de rotação permanecer quase plana, a massa dinâmica crescerá quase linearmente com o raio.
A equação da massa ausente
A massa ausente é a diferença entre a massa dinâmica e a massa visível:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Usando a equação de rotação:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Em unidades práticas:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)- vc(r) está em km/s.
- r está em kpc.
- M está em M⊙.
Se nos concentrarmos apenas no disco visível:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)\simeq2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)Essa é a equação central que conecta a rotação observada da Via Láctea à massa visível de seu disco.
Uma extensão baseada em ondas da massa ausente
Um modelo de disco explica a massa visível. A massa ausente é o que resta após a comparação dessa massa visível com a massa dinâmica.
Um modelo baseado em ondas pode descrever a massa ausente como uma densidade efetiva gerada pelo disco visível.
A ideia norteadora é que cada elemento de massa visível gera um campo efetivo que diminui com a distância.
Seja a distância entre um ponto de origem r′ e um ponto de observação r:
\(D=|r-r’|\)Então, uma contribuição elementar pode ser escrita como:
\(d\rho_{\mathrm{wave}}(r)=\rho_{\mathrm{visible}}(r’)\,\lambda e^{-D/\ell}\,dV\)- λ é um fator de acoplamento sem dimensão.
- ℓ é um comprimento de coerência.
- D é a distância entre a fonte e o ponto de observação.
Essa forma significa que a contribuição efetiva diminui exponencialmente com a distância:
\(e^{-D/\ell}\)O parâmetro ℓ controla até onde o efeito se estende.
Densidade efetiva de todo o disco
Para um disco, a densidade efetiva total em um ponto (R,z) pode ser escrita como uma convolução do disco visível com um núcleo exponencial.
O disco de origem tem densidade de superfície:
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)Um ponto na fonte do disco está localizado no raio R′ e no ângulo φ.
A distância desse ponto de origem até um ponto de observação (R,z) é:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)A densidade efetiva é então:
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)com:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Essa equação diz que cada anel de massa visível contribui para a densidade efetiva em (R,z), com uma força que decai como e-D/ℓ.
Interpretação de anel por anel
O disco pode ser entendido novamente por meio de anéis.
Um anel visível de raio R′ tem massa:
\(dM_{\mathrm{visible}}=2\pi R’\Sigma(R’)\,dR’\)Na extensão baseada em ondas, esse anel contribui para a densidade efetiva ao seu redor.
A contribuição é mais forte perto do anel e diminui com a distância:
\(e^{-D/\ell}\)Portanto, a densidade efetiva não é inserida manualmente como um halo esférico. Ela é gerada a partir da geometria do próprio disco.
Em distâncias curtas, ela segue a geometria do disco. Em distâncias maiores, após a integração de muitos anéis, a distribuição efetiva pode se tornar mais suave e mais extensa.
Fórmula compacta para a densidade efetiva baseada em ondas
Usando o disco exponencial:
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)é possível escrever a densidade efetiva esquematicamente como:
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda\Sigma_0}{\ell}\int_0^\infty R’e^{-R’/R_d}\left[\int_0^{2\pi}e^{-\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}/\ell}\,d\phi\right]dR’\)Essa é a forma geral mais limpa. Ela mantém a geometria real do disco:
- R′ é o raio do anel de origem.
- R é o raio de observação no plano galáctico.
- z é a altura acima ou abaixo do plano galáctico.
- φ é o ângulo em torno do anel da fonte.
Da densidade efetiva à massa efetiva
Quando a densidade efetiva é conhecida, a massa efetiva correspondente dentro do raio r pode ser escrita como:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_{V(r)}\rho_{\mathrm{wave}}(\mathbf{x})\,d^3x\)Em coordenadas esféricas:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_0^r\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\rho_{\mathrm{wave}}(s,\theta,\phi)s^2\sin\theta\,d\phi\,d\theta\,ds\)Essa massa efetiva pode então ser comparada com a massa ausente observada:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)\approx M_{\mathrm{missing}}(<r)\)Isso dá uma condição testável.
A principal restrição física
As curvas de rotação galáctica planas exigem aproximadamente:
\(v_c(r)\approx\mathrm{constante}\)Sevc(r) for aproximadamente constante, então:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2}{G}\)Então:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\propto r\)Esse é o motivo essencial do aparecimento da massa faltante.
A massa do disco visível não cresce linearmente para sempre. Ela se aproxima de uma massa total finita:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\rightarrow M_{\mathrm{disk,visible}}(\infty)\)Mas a massa dinâmica inferida a partir de uma curva de rotação plana continua a crescer:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\propto r\)Portanto:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)também cresce com o raio.
Exemplo numérico simples no raio do sol
O Sol está localizado a aproximadamente:
\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)Usando a equação do disco estelar:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)Isso dá aproximadamente:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\approx3.7\times10^{10}M_\odot\)Se a velocidade circular for:
\(v_c\simeq233\,\mathrm{km/s}\)então a massa dinâmica dentro de 8,2 kpc é:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)=2.325\times10^5(233)^2(8.2)M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)\approx1.03\times10^{11}M_\odot\)A diferença mostra por que a massa visível sozinha não pode explicar a rotação observada.
O que este modelo inclui e o que não inclui
| Componente | Incluído na equação do disco? |
|---|---|
| Disco estelar fino | Sim |
| Disco estelar espesso | Sim |
| Gás hidrogênio atômico, HI | Sim |
| Gás hidrogênio molecular, H₂ | Sim |
| Bojo/barra central | Não |
| Halo estelar | Não |
| Halo de matéria escura | Não |
| Massa efetiva baseada em ondas | Extensão opcional |
As equações acima se concentram no disco.
Um modelo completo da massa da Via Láctea também incluiria:
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{disk}}+M_{\mathrm{bulge}}+M_{\mathrm{stellar\,halo}}+M_{\mathrm{missing}}\)ou, em uma formulação baseada em ondas:
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{visible}}+M_{\mathrm{wave}}\)Resumo final das principais equações
Disco estelar visível
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Disco visível completo
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}+M_{\mathrm{thick}}+M_{\mathrm{HI}}+M_{\mathrm{H_2}}\)Massa dinâmica
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)Massa faltante
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Massa do anel
\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)Disco exponencial
\(\Sigma(r)=\Sigma_0e^{-r/R_d}\)Densidade efetiva baseada em ondas
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)com:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Glossário
Centro Galáctico
A região central da Via Láctea.
Raio r
Distância do centro galáctico, geralmente medida em quiloparsecs.
Kiloparsec, kpc
Uma unidade de distância galáctica. Um kpc corresponde a cerca de 3.260 anos-luz.
Massa solar, M⊙
A massa do Sol.
Densidade da superfície, Σ(r)
Massa por unidade de área do disco galáctico.
Disco fino
A parte plana, brilhante e formadora de estrelas da Via Láctea.
Disco espesso
Um componente estelar mais antigo e mais estendido verticalmente.
HI
Gás hidrogênio atômico.
H₂
Gás hidrogênio molecular.
Massa dinâmica
A massa necessária para explicar a velocidade de rotação observada.
Massa ausente
A diferença entre a massa dinâmica e a massa visível.
Comprimento de coerência, ℓ
Na extensão baseada em ondas, a escala de distância na qual a contribuição efetiva diminui.
Fator de acoplamento, λ
Um parâmetro sem dimensão que controla a força da contribuição da onda efetiva.
Perguntas frequentes
Qual é a equação mais importante?
A equação de disco visível mais importante é Mdisk,visible(<r)=Mthin+Mthick+MHI+MH₂. A equação de massa ausente mais importante é Mmissing(<r)=rvc²(r)/G-Mvisible(<r).
Por que usamos anéis?
Porque o disco da Via Láctea é plano. Um disco é naturalmente construído a partir de anéis circulares, portanto a massa do anel é dM=2πrΣ(r)dr.
Por que a massa visível para de crescer rapidamente?
Porque a densidade do disco diminui exponencialmente. Em um raio grande, há cada vez menos matéria visível.
Por que a massa ausente aparece?
Porque a curva de rotação observada permanece quase plana em grandes distâncias. Uma curva de rotação plana implica que a massa dinâmica cresce aproximadamente de forma linear com o raio, enquanto a massa visível do disco não cresce.
Esta página prova um modelo específico de matéria escura?
Não. As equações do disco descrevem a matéria visível. A equação da massa ausente mostra a lacuna entre a massa visível e a massa dinâmica. A parte baseada em ondas é um modelo adicional que pode ser testado em relação à curva de rotação observada.
Notas de acessibilidade
Texto alternativo sugerido para a imagem:
- Imagem 1: “Diagrama de cima para baixo do disco da Via Láctea dividido em anéis circulares ao redor do centro galáctico”.
- Imagem 2: “Vista lateral da Via Láctea mostrando um disco fino cercado por um disco estelar mais espesso”.
- Imagem 3: “Gráfico da massa do disco visível e da massa dinâmica aumentando com a distância do Centro Galáctico”.
- Imagem 4: “Ilustração de um campo exponencial que diminui com a distância de um elemento de massa visível”.