A massa do disco da Via Láctea como uma função do raio

TL;DR

A massa visível do disco da Via Láctea pode ser modelada como a soma de vários componentes: o disco estelar fino, o disco estelar espesso, o gás de hidrogênio atômico HI e o gás de hidrogênio molecular H₂.

A equação mais útil é:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

onde r é a distância do centro galáctico em quiloparsecs, ou kpc.

Para a parte estelar do disco, usando os parâmetros da Via Láctea comumente adotados do modelo de massa galáctica de McMillan, a massa dentro do raio r é:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

com r em kpc e massa em massas solares, M⊙.

Essa equação descreve a massa estelar visível do disco da Via Láctea como uma função da distância do centro galáctico.

Equação final para a massa do disco visível

O disco visível da Via Láctea pode ser escrito como:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

A parte estelar é a mais limpa:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)

Usando parâmetros numéricos:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Onde:

r = distância do centro galáctico em kpc
Mdisk_,stars = massa do disco estelar dentro do raio r
M⊙ = uma massa solar

Os parâmetros usados aqui são provenientes do modelo de massa da Via Láctea de McMillan de 2017, que fornece um raio solar R₀ = 8,20 ± 0,09 kpc, velocidade circular v₀ = 232,8 ± 3,0 km/s e massa estelar total (54,3 ± 5,7) × 10⁹ M⊙.

O disco da Via Láctea foi construído a partir de anéis

Uma maneira simples de entender a equação de massa é imaginar o corte do disco galáctico em muitos anéis circulares finos.

Cada anel tem:

\(\mathrm{circumference}=2\pi r\) \(\mathrm{width}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)

Se a densidade de massa da superfície do disco for Σ(r), então a massa de um anel fino é:

\(dM=2\pi r\,\Sigma(r)\,dr\)

A massa dentro do raio r é obtida pela soma de todos os anéis do centro até r:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)

Essa é a ideia matemática básica por trás da equação da massa do disco.

A equação do disco exponencial

O disco estelar da Via Láctea é geralmente aproximado por uma densidade de superfície exponencial:

\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)

Onde:

Σ₀ = densidade de massa da superfície central
_Rd = comprimento da escala do disco
r = distância do centro galáctico

O comprimento da escala _Rd nos informa a rapidez com que o disco se torna menos denso à medida que nos movemos para fora.

Substituindo essa densidade na equação do anel, obtém-se o seguinte

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)

Resolvendo a integral, obtém-se:

\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)

Essa é a principal equação usada para o disco estelar.

Componente 1 – O disco estelar fino

O disco fino é a parte brilhante, plana e formadora de estrelas da Via Láctea. Ele contém estrelas jovens, muitas estrelas semelhantes ao Sol, gás, poeira e os braços espirais.

Para o disco estelar fino:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)

Desde então:

\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)

escrevemos:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

A massa dentro do raio r é:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)

Portanto:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)

A massa total do disco fino é obtida tomando-se r → ∞:

\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)

Componente 2 – O disco estelar espesso

O disco espesso é mais antigo, mais estendido verticalmente e mais difuso do que o disco fino. Suas estrelas se movem mais acima e abaixo do plano galáctico.

Para o disco estelar espesso:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)

Então:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

A massa dentro do raio r é:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Portanto:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)

A massa total do disco espesso é:

\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)

Massa do disco estelar: Disco fino + disco espesso

Ao adicionar os dois componentes estelares, obtém-se o seguinte

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)

ou:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Em um raio muito grande:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)

Portanto, nesse modelo, o disco estelar visível da Via Láctea contém cerca de

45,7 bilhões de massas solares

Componente 3 – Gás hidrogênio atômico, HI

O disco da Via Láctea também contém gás visível. O primeiro grande componente de gás é o hidrogênio atômico, conhecido como HI.

Ao contrário do disco estelar, o gás não é bem descrito por um disco exponencial simples. Ele tem uma depressão central, ou “buraco”, portanto, uma forma melhor é:

\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)

Para HI:

\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)

A massa dentro do raio r é:

\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)

Essa equação diz: pegue a massa total de HI e multiplique-a pela fração do disco de HI contida no raio r.

Componente 4 – Gás hidrogênio molecular, H₂

O segundo maior componente de gás é o hidrogênio molecular, escrito H₂. Esse gás está mais intimamente associado às nuvens frias e à formação de estrelas.

Para H₂:

\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)

A massa dentro do raio r é:

\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)

Equação da massa total do disco visível

Combinação de estrelas e gás:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Totalmente escrito:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)

Onde:

r e R estão em kpc
M está em M⊙

Essa equação fornece a massa do disco visível da Via Láctea dentro de um raio r, medido a partir do centro galáctico.

Exemplo: Massa dentro da órbita do Sol

O Sol está localizado a aproximadamente:

\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)

Usando apenas a equação do disco estelar:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)

Numericamente, isso dá aproximadamente:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)

Portanto, dentro da órbita do Sol, o disco estelar já contém a maior parte de sua massa total.

Por que usar anéis?

O método do anel é útil porque o disco de uma galáxia não é uma esfera.

Para um objeto esférico, a casca de massa no raio r tem área:

\(4\pi r^2\)

Mas em um disco fino, a massa é distribuída em anéis circulares:

\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)

É por isso que as equações de massa do disco são diferentes das equações de massa esférica.

Em um disco:

a massa vem dos anéis

Em uma esfera:

A massa vem das conchas

A Via Láctea contém componentes esféricos e em forma de disco, mas esta página se concentra no disco.

O que essa equação inclui

A equação inclui:

Componente	Significado	Incluído?
Disco estelar fino	Estrelas jovens e de idade intermediária próximas ao plano galáctico	Sim
Disco estelar espesso	Estrelas mais antigas e mais distantes do plano	Sim
Gás HI	Hidrogênio atômico	Sim
Gás H₂	Hidrogênio molecular	Sim
Bojo/barra	Estrutura estelar central	Não
Halo de matéria escura	Componente gravitacional invisível	Não
Halo estelar	Estrelas antigas muito difusas	Não

É por isso que a chamamos de massa do disco visível, e não a massa total da Via Láctea.

Como isso se relaciona com a missa perdida

Quando a massa do disco visível é conhecida, os astrônomos a comparam com a massa exigida pela rotação observada da galáxia.

A massa dinâmica inferida a partir do movimento circular é:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)

Em unidades práticas:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)

A massa que falta é então:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

Para esta página, a contribuição do disco é:

\(M_{\mathrm{visible}}(<r)\approx M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)

Um modelo completo da Via Láctea também acrescentaria o bojo/barra central e outros componentes bariônicos menores.

Limitações importantes

Esse modelo é útil, mas não é perfeito.

Primeiro, a Via Láctea não é um disco axissimétrico perfeitamente liso. Ela tem braços espirais, uma barra central, regiões de formação de estrelas e estruturas locais.

Em segundo lugar, o gás é difícil de modelar porque o observamos de dentro da galáxia. Sua distância e rotação devem ser reconstruídas a partir de dados de velocidade.

Terceiro, o disco tem espessura vertical. As equações acima são, em sua maioria, equações de densidade de superfície, que são excelentes para perfis de massa radial, mas não descrevem todos os detalhes verticais.

Em quarto lugar, os parâmetros dependem do modelo galáctico adotado. O modelo de McMillan é um forte ponto de referência, mas estudos diferentes podem fornecer massas de disco, comprimentos de escala e perfis de gás ligeiramente diferentes. McMillan relata explicitamente as incertezas estatísticas dos principais parâmetros globais, como R₀, v₀, massa estelar, massa virial e densidade local de matéria escura.

Glossário

Centro Galáctico
A região central da Via Láctea, em torno do buraco negro supermassivo Sagittarius A*.

Kiloparsec, kpc
Unidade de distância usada na astronomia galáctica. Um quiloparsec corresponde a cerca de 3.260 anos-luz.

Massa solar, M⊙
A massa do Sol. É usada como a unidade de massa padrão em astronomia.

Densidade da superfície, Σ(r)
Massa por unidade de área do disco galáctico no raio r.

Comprimento da escala, _Rd
A distância na qual a densidade do disco diminui em um fator de e.

Disco fino
O disco plano, denso e formador de estrelas da Via Láctea.

Disco espesso
Um disco estelar mais antigo, mais estendido verticalmente, que circunda o disco fino.

HI
Gás hidrogênio atômico.

H₂
Gás hidrogênio molecular.

Massa dinâmica
A massa necessária para explicar a velocidade orbital observada de estrelas e gás.

Massa ausente
A diferença entre a massa dinâmica e a massa visível.

Notas de acessibilidade

Texto alternativo sugerido para a imagem:

Texto alternativo para o diagrama 1: “Vista frontal do disco da Via Láctea dividido em anéis circulares ao redor do Centro Galáctico”.
Texto alternativo para o diagrama 2: “Vista lateral da Via Láctea mostrando um disco estelar fino embutido em um disco estelar mais espesso e mais antigo.”
Texto alternativo para o gráfico: “Gráfico mostrando a massa cumulativa do disco visível aumentando com o raio do Centro Galáctico”.

Use rótulos legíveis, como:

“Raio do centro galáctico, kpc”
“Massa dentro do raio, massas solares”
“Thin disk” (disco fino)
“Disco grosso”
“Disco de gás”
“Total visible disk” (Total de disco visível)

Links internos sugeridos

Curva de rotação da Via Láctea
Matéria escura e massa ausente
O que é um quiloparsec?
O Centro Galáctico explicado
Disco fino versus disco grosso

Referências externas sugeridas

Massa visível

Para estimar a massa visível da Via Láctea em qualquer raio, escolha um valor de r em kpc e insira-o em:

Para um primeiro cálculo, use a equação de disco estelar mais simples. Em seguida, adicione gás HI e H₂ para obter um modelo de disco visível mais completo.