Vintergatans massa som en funktion av avståndet från dess centrum
Synlig diskmassa – Saknad massa – Ringbaserade ekvationer – Galaktisk radie
Den synliga massan hos Vintergatans skiva kan modelleras genom att addera massan hos skivans huvudkomponenter: den tunna stjärnskivan, den tjocka stjärnskivan, atomär vätgas HI och molekylär vätgas H₂.
Den synliga diskmassan skrivs som:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Den enklaste och mest användbara delen är massan i stjärnornas disk:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)- r är avståndet från Galactic Center i kiloparsec, eller kpc.
- M är massan i solmassor, M⊙.
Denna ekvation ger den synliga stjärnmassan hos Vintergatans skiva inom radien r.
Den saknade massan erhålls sedan genom att jämföra den synliga massan med den dynamiska massan:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)I praktiska astronomiska enheter:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5\,v_c^2(r)\,r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)med vc(r) i km/s, r i kpc och massa i M⊙.
Den slutliga ekvationen för den synliga diskens massa
Vintergatans synliga skiva består av stjärnor och gas. Vi skriver:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)De två huvudsakliga stjärnkomponenterna är den tunna stjärnskivan och den tjocka stjärnskivan.
De två gaskomponenterna är atomärt väte, HI, och molekylärt väte, H₂.
Den renaste ekvationen är stjärnskivekvationen:
\(M_{\mathrm{disk,stjärnor}}(<r)=M_{\mathrm{tunn}}(<r)+M_{\mathrm{tjock}}(<r)\)Fullständigt skriven:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Detta är huvudekvationen för Vintergatans synliga stjärndiskmassa.
Varför Vintergatans skiva modelleras med ringar
Vintergatans skiva är inte en solid sfär. Den är snarare en stor tillplattad skiva.
För att beräkna dess massa delar vi upp den i många tunna cirkulära ringar.
En ring med radien r har omkrets:
\(2\pi r\)Om ringen har liten bredd dr, så är dess område:
\(dA=2\pi r\,dr\)Om ytans masstäthet är Σ(r), är ringens massa:
\(dM=\Sigma(r)\,2\pi r\,dr\)Detta är den viktigaste idén.
Den totala massan inom radien r erhålls genom att addera alla ringar från Galaktiska centret till r:
\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma(R)\,R\,dR\)Så skivans massa är inte uppbyggd av sfäriska skal. Den är uppbyggd av cirkulära ringar.
Den exponentiella skivan
Ytdensiteten av stjärnor i en galaktisk disk modelleras ofta som en exponentiell funktion:
\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)- Σ0 är den centrala ytans masstäthet.
- Rd är skivans skalalängd.
- r är avståndet från det galaktiska centrumet.
Det betyder att skivan är som tätast nära centrum och blir mindre tät när r ökar.
Om man sätter in den exponentiella ytdensiteten i ringekvationen får man
\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)Lösning av integralen ger:
\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)Detta är den grundläggande formeln för diskmassa.
Komponent 1 – Den tunna stjärnskivan
Den tunna skivan är den ljusa, platta, stjärnbildande delen av Vintergatan. Den innehåller unga stjärnor, många solliknande stjärnor, spiralarmar, gas, stoft och aktiva stjärnbildningsregioner.
För den tunna disken använder vi:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)Sedan dess:
\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)vi konverterar:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)Den tunna skivans massa inom radien r är:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)Därför..:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)Vid mycket stor radie:
\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)Komponent 2 – Den tjocka stjärnskivan
Den tjocka skivan är äldre och mer vertikalt utsträckt. Den innehåller äldre stjärnor som rör sig längre över och under det galaktiska planet.
För den tjocka skivan använder vi:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)Omvandling av ytdensiteten:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)Den tjocka skivans massa inom radien r är:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Därför..:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)Vid mycket stor radie:
\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)Stellardiskens totala massa
Lägga till de tunna och tjocka skivorna:
\(M_{\mathrm{disk,stjärnor}}(<r)=M_{\mathrm{tunn}}(<r)+M_{\mathrm{tjock}}(<r)\)Så..:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Den totala massan på stjärndisken är:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)Vintergatans synliga stjärnskiva innehåller alltså cirka 45,7 miljarder solmassor.
Lägga till gasskivan
Vintergatans skiva innehåller också synlig gas. De två huvudsakliga gaskomponenterna är atomärt väte, HI, och molekylärt väte, H₂.
Gas modelleras inte som en enkel exponentiell disk eftersom den har en central depression. En användbar form är:
\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)- Rm är skalan för det centrala hålet.
- Rd är den radiella skalans längd.
Massan inom radie r är:
\(M_{\mathrm{gas}}(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{R}-\frac{R}{R_d}\right)R\,dR\)Atomärt väte Gas: HI
För atomärt väte:
\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)En normaliserad ekvation är:
\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}M_\odot\)Detta ger den andel av den totala HI-gasmassan som finns inom radien r.
Molekylär vätgas Gas: H₂
För molekylärt väte:
\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)Den normaliserade massekvationen är:
\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}M_\odot\)Komplett ekvation för synliga skivor
Den fullständiga ekvationen för synlig disk är:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Skrivs helt och hållet:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}+1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\)- r och R är i kpc.
- M är i M⊙.
Denna ekvation ger Vintergatans synliga skivmassa inom en radie r.
Dynamisk massa från rotationen
Vintergatans observerade rotationshastighet berättar för oss hur mycket massa som krävs för att gravitationen ska fungera.
För cirkulär rörelse:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)- vc(r) är den cirkulära hastigheten vid radien r.
- G är gravitationskonstanten.
I praktiska enheter:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)Om rotationshastigheten är ungefär jämn:
\(v_c(r)\approx233\,\mathrm{km/s}\)…då:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq2.325\times10^5(233)^2r\,M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq1.26\times10^{10}r\,M_\odot\)med r i kpc.
Detta innebär att om rotationskurvan förblir nästan platt, växer den dynamiska massan nästan linjärt med radien.
Den saknade massekvationen
Den saknade massan är skillnaden mellan den dynamiska massan och den synliga massan:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Med hjälp av rotationsekvationen:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)I praktiska enheter:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)- vc(r) är i km/s.
- r är i kpc.
- M är i M⊙.
Om vi bara fokuserar på den synliga skivan:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)\simeq2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)\)Detta är den centrala ekvationen som kopplar samman Vintergatans observerade rotation med den synliga massan hos dess skiva.
En vågbaserad utvidgning av den saknade massan
En diskmodell förklarar den synliga massan. Den saknade massan är det som återstår när man jämför den synliga massan med den dynamiska massan.
En vågbaserad modell kan beskriva den saknade massan som en effektiv densitet som genereras av den synliga skivan.
Den vägledande idén är att varje synligt masselement genererar ett effektivt fält som minskar med avståndet.
Låt avståndet mellan en källpunkt r′ och en observationspunkt r vara:
\(D=|r-r’|\)Då kan ett elementärt bidrag skrivas som:
\(d\rho_{\mathrm{våg}}(r)=\rho_{\mathrm{synlig}}(r’)\,\lambda e^{-D/\ell}\,dV\)- λ är en dimensionslös kopplingsfaktor.
- ℓ är en koherenslängd.
- D är avståndet mellan källan och observationspunkten.
Denna form innebär att det effektiva bidraget minskar exponentiellt med avståndet:
\(e^{-D/\ell}\)Parametern ℓ styr hur långt effekten sträcker sig.
Effektiv densitet från hela skivan
För en skiva kan den totala effektiva densiteten vid en punkt (R,z) skrivas som en faltning av den synliga skivan med en exponentiell kärna.
Källskivan har ytdensitet:
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)En punkt i diskkällan är belägen vid radien R′ och vinkeln φ.
Avståndet från denna källpunkt till en observationspunkt (R,z) är:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Den effektiva densiteten är då:
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)med:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Denna ekvation säger att varje ring med synlig massa bidrar till den effektiva densiteten vid (R,z), med en styrka som avtar som e-D/ℓ.
Ring-för-ring-tolkning
Skivan kan återigen förstås genom ringar.
En synlig ring med radien R′ har massan:
\(dM_{\mathrm{visible}}=2\pi R’\Sigma(R’)\,dR’\)I den vågbaserade förlängningen bidrar ringen till den effektiva densiteten runt den.
Bidraget är starkast nära ringen och minskar med avståndet:
\(e^{-D/\ell}\)Så den effektiva densiteten läggs inte in för hand som en sfärisk halo. Den genereras från själva skivans geometri.
På korta avstånd följer den diskgeometrin. På större avstånd, efter att ha integrerats över många ringar, kan den effektiva fördelningen bli jämnare och mer utsträckt.
Kompakt formel för den vågbaserade effektiva densiteten
Använda exponentialskivan:
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)kan man schematiskt skriva den effektiva densiteten som:
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda\Sigma_0}{\ell}\int_0^\infty R’e^{-R’/R_d}\left[\int_0^{2\pi}e^{-\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}/\ell}\,d\phi\right]dR’\)Detta är den renaste allmänna formen. Den behåller den verkliga diskgeometrin:
- R′ är källringens radie.
- R är observationsradien i det galaktiska planet.
- z är höjden över eller under det galaktiska planet.
- φ är vinkeln runt källringen.
Från effektiv densitet till effektiv massa
När den effektiva densiteten är känd kan motsvarande effektiva massa inom radien r skrivas som:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_{V(r)}\rho_{\mathrm{wave}}(\mathbf{x})\,d^3x\)I sfäriska koordinater:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_0^r\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\rho_{\mathrm{wave}}(s,\theta,\phi)s^2\sin\theta\,d\phi\,d\theta\,ds\)Denna effektiva massa kan sedan jämföras med den observerade saknade massan:
\(M_{\mathrm{våg}}(<r)\approx M_{\mathrm{bortfall}}(<r)\)Det ger ett testbart villkor.
Den viktigaste fysiska begränsningen
Plana galaktiska rotationskurvor kräver ungefär:
\(v_c(r)\approx\mathrm{konstant}\)Om vc(r) är ungefär konstant, då:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2}{G}\)Så..:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\propto r\)Detta är den viktigaste orsaken till att massan saknas.
Den synliga diskmassan växer inte linjärt för evigt. Den närmar sig en ändlig total massa:
\(M_{\mathrm{disk,synlig}}(<r)\rightarrow M_{\mathrm{disk,synlig}}(\infty)\)Men den dynamiska massa som härleds från en platt rotationskurva fortsätter att växa:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\propto r\)Därför..:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)växer också med radien.
Enkelt numeriskt exempel på solens radie
Solen befinner sig på ca:
\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)Med hjälp av stjärnskivekvationen:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)Detta ger ungefär:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\approx3.7\times10^{10}M_\odot\)Om den cirkulära hastigheten är:
\(v_c\simeq233\,\mathrm{km/s}\)då är den dynamiska massan inom 8,2 kpc:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)=2.325\times10^5(233)^2(8.2)M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)\approx1.03\times10^{11}M_\odot\)Skillnaden visar varför den synliga massan inte ensam kan förklara den observerade rotationen.
Vad ingår och ingår inte i denna modell
| Komponent | Ingår i diskekvationen? |
|---|---|
| Tunn stjärnskiva | Ja |
| Tjock stjärnskiva | Ja |
| Atomär vätgas, HI | Ja |
| Molekylär vätgas, H₂ | Ja |
| Central utbuktning/barriär | Nej |
| Stjärnornas halo | Nej |
| Halo av mörk materia | Nej |
| Vågbaserad effektiv massa | Valfri förlängning |
Ekvationerna ovan fokuserar på skivan.
En komplett massmodell för Vintergatan skulle också innehålla:
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{disk}}+M_{\mathrm{bulge}}+M_{\mathrm{stellar\,halo}}+M_{\mathrm{missing}}\)eller, i en vågbaserad formulering:
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{visible}}+M_{\mathrm{wave}}\)Slutlig sammanfattning av huvudekvationerna
Synlig stjärnskiva
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Fullt synlig disk
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}+M_{\mathrm{thick}}+M_{\mathrm{HI}}+M_{\mathrm{H_2}}\)Dynamisk massa
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)Saknad massa
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Ringmassa
\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)Exponentiell disk
\(\Sigma(r)=\Sigma_0e^{-r/R_d}\)Vågbaserad effektiv densitet
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)med:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Ordlista
Galaktiska centrum
Den centrala regionen i Vintergatan.
Radie r
Avstånd från galaxens centrum, vanligen mätt i kiloparsec.
Kiloparsec, kpc
En enhet för galaktiskt avstånd. En kpc är cirka 3 260 ljusår.
Solens massa, M⊙
Solens massa.
Ytdensitet, Σ(r)
Massa per ytenhet av den galaktiska skivan.
Tunn skiva
Den platta, ljusa, stjärnbildande delen av Vintergatan.
Tjock skiva
En äldre, mer vertikalt utsträckt stjärnkomponent.
HI
Atomär vätgas.
H₂
Molekylär vätgas.
Dynamisk massa
Den massa som krävs för att förklara den observerade rotationshastigheten.
Saknad massa
Skillnaden mellan dynamisk massa och synlig massa.
Koherenslängd, ℓ
I den vågbaserade utvidgningen, den avståndsskala över vilken det effektiva bidraget minskar.
Kopplingsfaktor, λ
En dimensionslös parameter som styr styrkan i det effektiva vågbidraget.
Vanliga frågor och svar
Vilken är den viktigaste ekvationen?
Den viktigaste ekvationen för synlig disk är Mdisk,visible(<r)=Mthin+Mthick+MHI+MH₂. Den viktigaste ekvationen för saknad massa är Mmissing(<r)=rvc²(r)/G-Mvisible(<r).
Varför använder vi ringar?
För att Vintergatans skiva är platt. En skiva är naturligt uppbyggd av cirkulära ringar, så ringmassan är dM=2πrΣ(r)dr.
Varför slutar den synliga massan att växa snabbt?
Därför att diskens densitet minskar exponentiellt. Vid stor radie finns det mindre och mindre synlig materia.
Varför uppträder saknad massa?
För att den observerade rotationskurvan förblir nästan platt över stora avstånd. En platt rotationskurva innebär att den dynamiska massan växer ungefär linjärt med radien, medan den synliga skivmassan inte gör det.
Bevisar den här sidan en specifik modell för mörk materia?
Nej. Skivekvationerna beskriver synlig materia. Ekvationen för den saknade massan visar gapet mellan synlig massa och dynamisk massa. Den vågbaserade delen är en ytterligare modell som kan testas mot den observerade rotationskurvan.
Anmärkningar om tillgänglighet
Föreslagen alt-text för bild:
- Bild 1: ”Diagram uppifrån och ned över Vintergatans skiva uppdelad i cirkelringar runt galaxens centrum.”
- Bild 2: ”Sidovy av Vintergatan som visar en tunn skiva omgiven av en tjockare stjärnskiva.”
- Bild 3: ”Graf över den synliga diskmassan och den dynamiska massan som ökar med avståndet från Galactic Center.”
- Bild 4: ”Illustration av ett exponentiellt fält som avtar med avståndet från ett synligt masselement.”