Vintergatans skivas massa som en funktion av radien

TL;DR

Den synliga massan hos Vintergatans skiva kan modelleras som summan av flera komponenter: den tunna stellära skivan, den tjocka stellära skivan, atomär vätgas HI och molekylär vätgas H₂.

Den mest användbara ekvationen är:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

där r är avståndet från Galactic Center i kiloparsec, eller kpc.

För den stellära delen av skivan, med användning av allmänt antagna Vintergatsparametrar från McMillans galaktiska mass amodell, är massan inom radien r:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

med r i kpc och massa i solmassor, M⊙.

Denna ekvation beskriver den synliga stjärnmassan i Vintergatans skiva som en funktion av avståndet från Galactic Center.

Slutlig ekvation för den synliga diskens massa

Vintergatans synliga skiva kan skrivas som:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Stjärndelen är den renaste:

\(M_{\mathrm{disk,stjärnor}}(<r)=M_{\mathrm{tunn}}(<r)+M_{\mathrm{tjock}}(<r)\)

Använda numeriska parametrar:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

var:

r = avstånd från galaxens centrum i kpc
Mdisk_,stjärnor = stjärnskivans massa inom radien r
M⊙ = en solmassa

De parametrar som används här kommer från McMillans massmodell för Vintergatan 2017, som ger en solradie R₀ = 8,20 ± 0,09 kpc, en cirkelhastighet v₀ = 232,8 ± 3,0 km/s och en total stjärnmassa på (54,3 ± 5,7) × 10⁹ M⊙.

Vintergatans skiva är uppbyggd av ringar

Ett enkelt sätt att förstå massekvationen är att föreställa sig att man skär den galaktiska skivan i många tunna cirkelringar.

Varje ring har:

\(\mathrm{omkrets}=2\pi r\) \(\mathrm{bredd}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)

Om skivans ytmassdensitet är Σ(r), så är massan av en tunn ring:

\(dM=2\pi r\,\Sigma(r)\,dr\)

Massan inom radien r erhålls genom att addera alla ringar från centrum till r:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)

Detta är den grundläggande matematiska idén bakom ekvationen för skivmassan.

Den exponentiella diskekvationen

Vintergatans stjärnskiva approximeras vanligen med en exponentiell yttäthet:

\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)

var:

Σ₀ = massdensitet vid den centrala ytan
_Rd = skalans längd på skivan
r = avstånd från galaxens centrum

Skalans längd_Rd berättar hur snabbt skivan blir mindre tät när vi rör oss utåt.

Om man sätter in denna densitet i ringekvationen får man

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)

Lösning av integralen ger:

\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)

Detta är den viktigaste ekvationen som används för stjärnskiktet.

Komponent 1 – Den tunna stjärnskivan

Den tunna skivan är den ljusa, platta, stjärnbildande delen av Vintergatan. Den innehåller unga stjärnor, många solliknande stjärnor, gas, stoft och spiralarmarna.

För den tunna stjärnskivan:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)

Sedan dess:

\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)

skriver vi:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Massan inom radie r är:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)

Därför..:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)

Den totala massan för den tunna skivan erhålls genom att ta r → ∞:

\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)

Komponent 2 – Den tjocka stjärnskivan

Den tjocka skivan är äldre, mer vertikalt utsträckt och mer diffus än den tunna skivan. Dess stjärnor rör sig längre över och under det galaktiska planet.

För den tjocka stjärnskivan:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)

Så..:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

Massan inom radie r är:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Därför..:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)

Den tjocka skivans totala massa är:

\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)

Stellarisk diskmassa: Tunn skiva + tjock skiva

Om man lägger till de båda stjärnkomponenterna får man:

\(M_{\mathrm{disk,stjärnor}}(<r)=M_{\mathrm{tunn}}(<r)+M_{\mathrm{tjock}}(<r)\)

eller:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Vid mycket stor radie:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)

Så i denna modell innehåller Vintergatans synliga stjärnskiva ca:

45,7 miljarder solmassor

Komponent 3 – Atomvätgas, HI

Vintergatans skiva innehåller också synlig gas. Den första stora gaskomponenten är atomärt väte, förkortat HI.

Till skillnad från stjärnskivan beskrivs gasen inte väl av en enkel exponentiell skiva. Den har en central fördjupning, eller ”hål”, så en bättre form är:

\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)

För HI:

\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)

Massan inom radie r är:

\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)

Ekvationen lyder: ta den totala HI-massan och multiplicera den med den del av HI-skivan som finns inom radien r.

Komponent 4 – Molekylär vätgas, H₂

Den andra stora gaskomponenten är molekylärt väte, förkortat H₂. Den här gasen är närmare förknippad med kalla moln och stjärnbildning.

För H₂:

\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)

Massan inom radie r är:

\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)

Ekvation för massan på den fullt synliga skivan

Kombinationen av stjärnor och gas:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Fullständigt skriven:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)

var:

r och R är i kpc
M är i M⊙

Denna ekvation ger Vintergatans synliga skivmassa inom en radie r, mätt från galaxens centrum.

Exempel: Massan inuti solens omloppsbana

Solen befinner sig på ungefär:

\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)

Använda endast ekvationen för stjärnskivan:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)

Numeriskt ger detta ungefär:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)

Så inne i solens bana innehåller stjärnans skiva redan större delen av dess totala massa.

Varför använda ringar?

Ringmetoden är användbar eftersom en galaxskiva inte är en sfär.

För ett sfäriskt objekt har massaskalet vid radien r en area:

\(4\pi r^2\)

Men för en tunn skiva är massan fördelad på cirkulära ringar:

\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)

Det är därför som ekvationer för skivmassa ser annorlunda ut än ekvationer för sfärisk massa.

I en disk:

massan kommer från ringar

I en sfär:

massan kommer från skalen

Vintergatan innehåller både skivliknande och sfäriska komponenter, men den här sidan fokuserar på skivan.

Vad denna ekvation innehåller

Ekvationen innehåller:

Komponent	Betydelse	Ingår?
Tunn stjärnskiva	Unga och medelålders stjärnor nära det galaktiska planet	Ja
Tjock stjärnskiva	Äldre stjärnor längre bort från planet	Ja
HI-gas	Atomärt väte	Ja
H₂-gas	Molekylärt väte	Ja
Utbuktning/bar	Central stjärnstruktur	Nej
Halo av mörk materia	Osynlig gravitationell komponent	Nej
Stjärnornas halo	Mycket diffusa gamla stjärnor	Nej

Det är därför vi kallar det för den synliga diskmassan, inte Vintergatans hela massa.

Hur detta kopplas till den saknade massan

När den synliga skivans massa är känd jämför astronomerna den med den massa som krävs för den observerade rotationen av galaxen.

Den dynamiska massan som härleds från cirkulär rörelse är:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)

I praktiska enheter:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)

Den saknade massan är då:

\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)

För den här sidan är diskbidraget:

\(M_{\mathrm{synlig}}(<r)\approx M_{\mathrm{disk,synlig}}(<r)\)

En fullständig Vintergatsmodell skulle också lägga till den centrala utbuktningen/balken och andra mindre baryoniska komponenter.

Viktiga begränsningar

Denna modell är användbar, men den är inte perfekt.

För det första är Vintergatan inte en helt slät axialsymmetrisk skiva. Den har spiralarmar, en central bar, stjärnbildande regioner och lokala strukturer.

För det andra är gasen svår att modellera eftersom vi observerar den inifrån galaxen. Dess avstånd och rotation måste rekonstrueras utifrån hastighetsdata.

För det tredje har skivan en vertikal tjocklek. Ekvationerna ovan är mestadels ytdensitetsekvationer, som är utmärkta för radiella massprofiler men som inte beskriver alla vertikala detaljer.

För det fjärde beror parametrarna på den antagna galaktiska modellen. McMillans modell är en stark referenspunkt, men olika studier kan ge något olika skivmassor, skalängder och gasprofiler. McMillan rapporterar uttryckligen statistiska osäkerheter för viktiga globala parametrar som R₀, v₀, stjärnmassa, virialmassa och lokal densitet av mörk materia.

Ordlista

Galaktiska centrum
Vintergatans centrala region, runt det supermassiva svarta hålet Sagittarius A*.

Kiloparsec, kpc
En avståndsenhet som används inom galaktisk astronomi. En kiloparsec är cirka 3 260 ljusår.

Solens massa, M⊙
Solens massa. Den används som standardmassenhet inom astronomin.

Ytdensitet, Σ(r)
Massa per ytenhet av den galaktiska skivan vid radien r.

Skalans längd,_Rd
Det avstånd över vilket skivans densitet minskar med en faktor e.

Tunn skiva
Vintergatans plana, täta, stjärnbildande skiva.

Tjock skiva
En äldre, mer vertikalt utsträckt stjärnskiva som omger den tunna skivan.

HI
Atomär vätgas.

H₂
Molekylär vätgas.

Dynamisk massa
Den massa som krävs för att förklara den observerade omloppshastigheten hos stjärnor och gas.

Saknad massa
Skillnaden mellan den dynamiska massan och den synliga massan.

Anmärkningar om tillgänglighet

Föreslagen alt-text för bild:

Alt text för diagram 1: ”Ansikte mot ansikte av Vintergatans skiva uppdelad i cirkelringar runt Galaxens centrum.”
Alt text för diagram 2: ”Sidovy av Vintergatan som visar en tunn stjärnskiva inbäddad i en tjockare, äldre stjärnskiva.”
Alt-text för graf: ”Grafen visar kumulativ synlig skivmassa som ökar med radien från Galactic Center.”

Använd läsbara etiketter som t.ex:

”Radie från galaktiska centrum, kpc”
”Massa inom radie, solmassor”
”Tunn disk”
”Tjock disk”
”Gasskiva”
”Total synlig disk”

Föreslagna interna länkar

Vintergatans rotationskurva
Mörk materia och saknad massa
Vad är en kiloparsec?
Det galaktiska centret förklarat
Tunn disk kontra tjock disk

Föreslagna externa referenser

Ytterligare läsning:

McMillan, P. J. ”Vintergatans massfördelning och gravitationella potential”. Månadsbesked från Royal Astronomical Society, 2017.
McMillan, P. J. ”Mass models of the Milky Way.” arXiv, 2011.
Cautun et al. ”The Milky Way total mass profile as inferred from Gaia DR2.” I artikeln modelleras Vintergatan med en utbuktning, en tunn skiva, en tjock skiva, en HI-skiva, en molekylär gasskiva, cirkumgalaktisk gas och en mörk halo.
Marasco et al. ”Distribution and kinematics of atomic and molecular gas inside the Solar circle.” Denna studie modellerar galaktisk gas med hjälp av ringar och passar HI- och CO-data.

Synlig massa

För att uppskatta Vintergatans synliga massa vid vilken radie som helst, välj ett värde på r i kpc och sätt in det i:

För en första beräkning, använd den enklare ekvationen för stjärndiskar. Lägg sedan till HI- och H₂-gas för en mer komplett modell av den synliga skivan.