银河系星盘的质量与半径的函数关系
简要说明
银河系星盘的可见质量可以模拟为几个部分的总和：薄恒星盘、厚恒星盘、原子氢气体 HI 和分子氢气体 H₂。
最有用的等式是
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)其中，r 是与银河系中心的距离，单位为千帕，或 kpc。
对于星盘的恒星部分，使用麦克米伦银河质量模型中通常采用的银河参数，半径 r 内的质量为
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)r 单位为 kpc，质量单位为太阳质量 M⊙。
可见光盘质量的最终方程
银河系的可见圆盘可以写成
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)恒星部分是最干净的：
\(M_{/mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{mathrm{thin}}(<r)+M_{/mathrm{thick}}(<r)\)使用数值参数：
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)在哪里？
- r= 与银河系中心的距离，kpc
- Mdisk,stars= 半径 r 内的恒星盘质量
- M⊙= 一个太阳质量
这里使用的参数来自麦克米伦 2017 年的银河质量模型，它给出了太阳半径 R₀ = 8.20 ± 0.09 kpc，圆周速度 v₀ = 232.8 ± 3.0 km/s，恒星总质量 (54.3 ± 5.7) × 10𠞙 M⊙。
银河系盘由环状结构构成
理解质量方程的一个简单方法是想象把银河系圆盘切割成许多薄薄的圆环。
每个戒指都有
圆周率=2/pi r[/latex]] \(\mathrm{circumference}=2\pi r\). [宽}=dr[/latex] \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)如果圆盘表面的质量密度为 Σ(r)，那么一个薄环的质量为：
[dM=2\pi r\,\Sigma(r)\,dr[/latex]半径 r 内的质量由从中心到 r 的所有圆环相加得出：
\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)这就是圆盘质量方程背后的基本数学思想。
指数盘方程
银河系的恒星盘通常用指数表面密度来近似表示：
\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)在哪里？
- Σ₀= 中心表面质量密度
- Rd= 盘面刻度长度
- r= 与银河系中心的距离
刻度长度Rd告诉我们，磁盘向外移动时密度降低的速度有多快。
将这一密度代入环形方程就得出了结果：
\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)求解积分得到
\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)这是用于恒星盘的主要方程。
组成部分 1 – 薄星盘
薄盘是银河系中明亮、平坦、恒星形成的部分。它包含年轻恒星、许多类太阳恒星、气体、尘埃和旋臂。
薄恒星盘
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)因为
\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)我们写道
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)半径 r 内的质量为
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)因此
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)取 r → ∞ 即可得到薄圆盘的总质量：
\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)组成部分 2 – 厚恒星盘
厚圆盘比薄圆盘更古老、更垂直延伸、更弥散。它的恒星在银河平面上下移动的距离更远。
对于厚恒星盘
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)那么
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)半径 r 内的质量为
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)因此
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)厚圆盘的总质量为
\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)恒星盘质量薄盘 + 厚盘
将这两个恒星成分相加就得到了
\(M_{/mathrm{disk,stars}}(<r)=M_{mathrm{thin}}(<r)+M_{/mathrm{thick}}(<r)\)或
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)半径非常大：
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)因此，在这个模型中，可见的银河系恒星盘包含了大约..：
457 亿太阳质量
成分 3 – 原子氢气，HI
银河系圆盘也包含可见气体。第一种主要气体成分是氢原子，简称 HI。
与恒星圆盘不同，气体并不能用简单的指数圆盘很好地描述。它的中央有一个凹陷，或称 “洞”，因此更好的形式是：
\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)对于 HI：
\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)半径 r 内的质量为
\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)这个等式表示：用 HI 的总质量乘以半径 r 内所含 HI 圆盘的部分。
成分 4 – 分子氢气 H₂
第二种主要气体成分是分子氢，写作 H₂。这种气体与冷云和恒星的形成关系更为密切。
代表 H₂：
\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)半径 r 内的质量为
\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)全可见光盘质量方程
把恒星和气体结合起来
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)完全写好了：
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)在哪里？
- r 和 R 单位为千帕
- M 在 M⊙ 中
这个等式给出了从银河系中心测量的半径 r 范围内银河系的可见磁盘质量。
实例：太阳轨道内的质量
太阳位于大约
\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)仅使用恒星盘方程
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)从数值上看，大约是这样：
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)因此，在太阳轨道内部，恒星盘已经包含了太阳总质量的大部分。
为什么使用戒指？
环形法之所以有用，是因为星系盘不是一个球体。
对于球形物体，半径 r 处的质量壳有面积：
\(4\pi r^2\)但对于薄圆盘来说，质量分布在圆形环上：
[dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr[/latex].这就是为什么圆盘质量方程看起来与球面质量方程不同的原因。
在磁盘中：
质量来自环
在一个球体中：
质量来自贝壳
银河包含盘状和球状两个部分，但本页主要介绍盘状部分。
该公式包括的内容
方程包括
| 组件 | 意义 | 包括在内？ |
|---|---|---|
| 薄恒星盘 | 银河面附近的年轻恒星和中年恒星 | 是 |
| 厚恒星盘 | 距离飞机较远的较老恒星 | 是 |
| HI 气体 | 原子氢 | 是 |
| H₂ 气体 | 分子氢 | 是 |
| 凸起/条形 | 中心恒星结构 | 没有 |
| 暗物质光晕 | 看不见的引力成分 | 没有 |
| 恒星光环 | 非常弥散的老恒星 | 没有 |
这就是为什么我们称它为可见星盘质量，而不是银河的全部质量。
这与缺失的弥撒有何联系
一旦知道了可见星盘的质量，天文学家就会将其与观测到的银河系旋转所需的质量进行比较。
根据圆周运动推断出的动力质量为
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)在实际单位中：
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)那么缺少的质量就是
\(M_{/mathrm{missing}}(<r)=M_{/mathrm{dyn}}(<r)-M_{/mathrm{visible}}(<r)\)本页的磁盘贡献是
\(M_{{mathrm{visible}}(<r)\approx M_{{mathrm{disk,visible}}(<r)\).完整的银河系模型还将添加中央隆起/条带和其他次要重子成分。
重要限制
这种模式很有用，但并不完美。
首先，银河并不是一个完全平滑的轴对称圆盘。它有旋臂、中心棒、恒星形成区和局部结构。
其次，气体很难建模，因为我们是从银河系内部观测气体的。它的距离和旋转必须通过速度数据来重建。
第三，磁盘具有垂直厚度。上述方程主要是表面密度方程，对径向质量剖面非常适用，但不能描述所有垂直细节。
第四，参数取决于所采用的银河模型。麦克米伦的模型是一个强有力的参考点，但不同的研究可能会给出略有不同的星盘质量、尺度长度和气体剖面。McMillan 明确报告了 R₀、v₀、恒星质量、virial 质量和局部暗物质密度等关键全局参数的统计不确定性。
无障碍环境说明
建议使用图片alt文本：
- 图 1 的标注文字：”银河盘面视图，围绕银河中心分成圆形环”。
- 图 2 的注释文字：”银河侧视图，显示一个较薄的恒星盘嵌在一个较厚、较古老的恒星盘中”。
- 图表的 Alt 文本：”图示可见磁盘累积质量随银河中心半径的增加而增加”。
使用可读标签，如
- “银河中心半径，kpc”
- “半径内质量，太阳质量”
- “薄磁盘”
- “厚盘”
- “气体盘”
- “可见磁盘总数”
可见质量
要估算银河系在任何半径处的可见质量，请选择一个以 kpc 为单位的 r 值，并将其插入 “银河系质量 “中：
第一次计算时，使用较简单的恒星盘方程。然后加入 HI 和 H₂ 气体，得到一个更完整的可见光盘模型。