كتلة قرص مجرة درب التبانة كدالة لنصف القطر
خلاصة القول؛ والصورة
يمكن نمذجة الكتلة المرئية لقرص مجرة درب التبانة على أنها مجموع عدة مكونات: القرص النجمي الرقيق، والقرص النجمي السميك، وغاز الهيدروجين الذري HI، وغاز الهيدروجين الجزيئي H₂.
المعادلة الأكثر فائدة هي
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)حيث r هي المسافة من مركز المجرة بالكيلوبارسيكس، أو kpc.
بالنسبة للجزء النجمي من القرص، باستخدام بارامترات درب التبانة المعتمدة بشكل شائع من نموذج كتلة المجرة لماكميلان لل كتلة المجرية، فإن الكتلة داخل نصف القطر r هي
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)مع r بالكيلومتر المكعب والكتلة بالكتلة الشمسية، M⊙.
تصف هذه المعادلة الكتلة النجمية المرئية لقرص مجرة درب التبانة كدالة للمسافة من مركز المجرة.
المعادلة النهائية لكتلة القرص المرئي
يمكن كتابة القرص المرئي لدرب التبانة على الصورة
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)الجزء النجمي هو الأنظف:
\(M_{\\mathrm{disk، نجوم}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)استخدام المعلمات العددية:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)حيث:
- r = المسافة من مركز المجرة بالكيلوبسكال
- Mdisk، النجوم = كتلة القرص النجمي داخل نصف القطر r
- M⊙ = كتلة شمسية واحدة
تأتي المعلمات المستخدمة هنا من نموذج ماكميلان لكتلة مجرة درب التبانة لعام 2017، والذي يعطي نصف قطر شمسي R₀ = 8.20 ± 0.09 كيلو متر مكعب، وسرعة دائرية v₀ = 232.8 ± 3.0 كم/ثانية، وكتلة نجمية إجمالية (54.3 ± 5.7) × 10⁹ م⊙.
قرص مجرة درب التبانة مبني من الحلقات
هناك طريقة بسيطة لفهم معادلة الكتلة وهي تخيُّل تقطيع قرص المجرة إلى العديد من الحلقات الدائرية الرقيقة.
يحتوي كل خاتم على:
\(\mathrm{محيط}=2\pi r\) \(\mathrm{العرض}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)إذا كانت كثافة الكتلة السطحية للقرص Σ(r)، فإن كتلة الحلقة الرقيقة الواحدة هي
\(dM=2\pi r\,\، \Sigma(r)\، dr\)يتم الحصول على الكتلة داخل نصف القطر r بجمع كل الحلقات من المركز إلى r:
\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)هذه هي الفكرة الرياضية الأساسية وراء معادلة كتلة القرص.
معادلة القرص الأسي
عادةً ما يتم تقريب القرص النجمي لمجرة درب التبانة بكثافة سطحية أسية:
\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)حيث:
- Σ ₀ = كثافة الكتلة السطحية المركزية
- ج = طول مقياس القرص
- r = المسافة من مركز المجرة
يخبرناطريق طول المقياسج ج بمدى سرعة انخفاض كثافة القرص كلما تحركنا إلى الخارج.
وبالتعويض بهذه الكثافة في المعادلة الحلقية نحصل على:
\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)بحل التكامل نحصل على:
\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)هذه هي المعادلة الرئيسية المستخدمة للقرص النجمي.
المكوّن 1 – القرص النجمي الرقيق
القرص الرقيق هو الجزء الساطع والمسطح والمكوّن للنجوم من مجرة درب التبانة. يحتوي على نجوم شابة والعديد من النجوم الشبيهة بالشمس والغاز والغبار والأذرع الحلزونية.
بالنسبة للقرص النجمي الرقيق
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)منذ ذلك الحين:
\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)نكتب
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)الكتلة داخل نصف القطر r هي
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)لذلك:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)يتم الحصول على كتلة القرص الرقيق الكلية بأخذ r → ∞:
\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)المكوّن 2 – القرص النجمي السميك
القرص السميك أقدم وأكثر امتداداً عمودياً وأكثر انتشاراً من القرص الرقيق. تتحرك نجومه أبعد فوق وتحت مستوى المجرة.
بالنسبة للقرص النجمي السميك
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)إذن:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)الكتلة داخل نصف القطر r هي
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)لذلك:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)كتلة القرص السميك الكلية هي
\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)كتلة القرص النجمي: القرص الرقيق + القرص السميك
بإضافة كلتا المركبتين النجميتين نحصل على
\(M_{\\mathrm{disk، نجوم}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)أو:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)في دائرة نصف قطرها كبير جداً:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)إذن، في هذا النموذج، يحتوي القرص النجمي المرئي لدرب التبانة على حوالي
45.7 مليار كتلة شمسية
المكون 3 – غاز الهيدروجين الذري، HI
يحتوي قرص مجرة درب التبانة أيضًا على غاز مرئي. المكوِّن الغازي الرئيسي الأول هو الهيدروجين الذري الذي يُكتب HI.
على عكس القرص النجمي، لا يوصف الغاز بشكل جيد بواسطة قرص أسي بسيط. فهو يحتوي على منخفض مركزي أو “ثقب”، لذا فإن الشكل الأفضل هو
\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)لـ HI
\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)الكتلة داخل نصف القطر r هي
\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)تقول هذه المعادلة: خذ كتلة الهيدروجين الكلية واضربها في جزء قرص الهيدروجين الموجود داخل نصف القطر r.
المكون 4 – غاز الهيدروجين الجزيئي، H₂
أما المكوّن الغازي الرئيسي الثاني فهو الهيدروجين الجزيئي الذي يُكتب H₂. يرتبط هذا الغاز ارتباطًا وثيقًا بالسحب الباردة وتكوين النجوم.
بالنسبة إلى H₂:
\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)الكتلة داخل نصف القطر r هي
\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)معادلة كتلة القرص المرئية الكاملة
الجمع بين النجوم والغاز:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)مكتوبة بالكامل:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)حيث:
- r وR بالكيلومتر المكعب
- M في M⊙
تُعطينا هذه المعادلة كتلة القرص المرئي لمجرة درب التبانة داخل نصف القطر r، مقيسة من مركز المجرة.
مثال: الكتلة داخل مدار الشمس
تقع الشمس عند حوالي:
\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)باستخدام معادلة القرص النجمي فقط:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)عدديًّا، هذا يعطينا تقريبًا
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)لذا، داخل مدار الشمس، يحتوي القرص النجمي بالفعل على معظم كتلتها الكلية.
لماذا نستخدم الخواتم؟
طريقة الحلقة مفيدة لأن قرص المجرة ليس كرة.
بالنسبة لجسم كروي، تكون مساحة غلاف الكتلة عند نصف القطر r:
\(4\pi r^2\)لكن بالنسبة للقرص الرقيق، تنتشر الكتلة على حلقات دائرية:
\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)ولهذا السبب تبدو معادلات كتلة القرص مختلفة عن معادلات الكتلة الكروية.
في قرص:
الكتلة تأتي من الحلقات
في كرة:
الكتلة تأتي من الأصداف
تحتوي مجرة درب التبانة على مكونات تشبه القرص وكروية الشكل، لكن هذه الصفحة تركز على القرص.
ما تتضمنه هذه المعادلة
تتضمن المعادلة:
| المكوّن | المعنى | متضمنة؟ |
|---|---|---|
| قرص نجمي رقيق | النجوم الشابة والمتوسطة العمر بالقرب من مستوى المجرة | نعم |
| قرص نجمي سميك | النجوم القديمة الأبعد عن المستوى | نعم |
| غاز عالي الكثافة | الهيدروجين الذري | نعم |
| غاز H₂ H₂ | الهيدروجين الجزيئي | نعم |
| الانتفاخ/القضيب | البنية النجمية المركزية | لا يوجد |
| هالة المادة المظلمة | مكون الجاذبية غير المرئي | لا يوجد |
| هالة نجمية | نجوم قديمة منتشرة جداً | لا يوجد |
وهذا هو السبب في أننا نسميها كتلة القرص المرئية، وليس الكتلة الكاملة لمجرة درب التبانة.
كيف يرتبط هذا بالكتلة المفقودة
بمجرد معرفة كتلة القرص المرئية، يقارنها علماء الفلك بالكتلة التي يتطلبها دوران المجرة المرصود.
الكتلة الديناميكية المستنبطة من الحركة الدائرية هي:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)في الوحدات العملية:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)إذن الكتلة المفقودة هي
\(M_{\\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)بالنسبة لهذه الصفحة، فإن مساهمة القرص هي:
\(\)M_{\\mathrm{visible}}(<r)\mathrm{disk، مرئي}(<r)\mathrm{disk، مرئي}(<r)/latex]سيضيف نموذج مجرة درب التبانة الكامل أيضًا الانتفاخ/القضيب المركزي والمكونات الباريونية الثانوية الأخرى.
قيود مهمة
هذا النموذج مفيد، لكنه ليس مثاليًا.
أولاً، مجرة درب التبانة ليست قرصاً أملس محورياً متماثل تماماً. فهي تحتوي على أذرع حلزونية، وشريط مركزي، ومناطق تشكيل النجوم، وبنى محلية.
ثانيًا، يصعب نمذجة الغاز لأننا نرصده من داخل المجرة. ويجب إعادة بناء مسافته ودورانه من بيانات السرعة.
ثالثًا، للقرص سُمك رأسي. المعادلات أعلاه هي في معظمها معادلات كثافة سطحية، وهي ممتازة لمحات الكتلة الشعاعية ولكنها لا تصف كل التفاصيل الرأسية.
رابعاً، تعتمد البارامترات على النموذج المجري المعتمد. ويُعتبر نموذج ماكميلان نقطة مرجعية قوية، لكن الدراسات المختلفة قد تعطي كتل قرص وأطوال مقياس وأطوال الغازات مختلفة قليلاً. يُبلغ McMillan صراحةً عن أوجه عدم اليقين الإحصائية للبارامترات العالمية الرئيسية مثل R₀، و v₀، والكتلة النجمية، والكتلة الفيروسية، وكثافة المادة المظلمة المحلية.
مسرد المصطلحات
مركز المجرة
المنطقة المركزية لمجرة درب التبانة، حول الثقب الأسود الهائل ساجيتاريوس A*.
كيلوبارسيك، kpc
وحدة المسافة المستخدمة في علم الفلك المجري. يساوي الكيلوبارسيك الواحد حوالي 3,260 سنة ضوئية.
الكتلة الشمسية، M⊙
كتلة الشمس. تُستخدم كوحدة الكتلة القياسية في علم الفلك.
كثافة السطح، Σ(r)
الكتلة لكل وحدة مساحة من قرص المجرة عند نصف القطر r.
طول المقياس،ج
المسافة التي تقل كثافة القرص خلالها بمعامل e.
قرص رقيق
القرص المسطح والكثيف المكون للنجوم في مجرة درب التبانة.
قرص سميك
قرص نجمي أقدم وأكثر امتداداً عمودياً يحيط بالقرص السميك.
هيدروجين
غاز الهيدروجين الذري
H₂
غاز الهيدروجين الجزيئي
الكتلة الديناميكية
الكتلة المطلوبة لتفسير السرعة المدارية المرصودة للنجوم والغاز.
الكتلة المفقودة
الفرق بين الكتلة الديناميكية والكتلة المرئية.
ملاحظات إمكانية الوصول
النص البديل المقترح للصورة المقترحة:
- النص البديل للرسم البياني 1: “منظر مباشر لقرص مجرة درب التبانة مقسم إلى حلقات دائرية حول مركز المجرة.”
- النص البديل للرسم البياني 2: “منظر جانبي لمجرة درب التبانة يُظهر قرصاً نجمياً رقيقاً مدمجاً داخل قرص نجمي أقدم وأسمك.”
- نص بديل للرسم البياني: “رسم بياني يوضح زيادة كتلة القرص المرئية التراكمية مع زيادة نصف القطر من مركز المجرة.”
استخدم ملصقات مقروءة مثل:
- “نصف القطر من مركز المجرة، kpc”
- “الكتلة داخل نصف القطر، الكتل الشمسية”
- “قرص رقيق”
- “قرص سميك”
- “قرص الغاز”
- “إجمالي القرص المرئي”
الروابط الداخلية المقترحة
- منحنى دوران مجرة درب التبانة
- المادة المظلمة والكتلة المفقودة
- ما هو الكيلوبارسيك؟
- شرح مركز المجرة
- القرص الرفيع مقابل القرص السميك
المراجع الخارجية المقترحة
المزيد من القراءة:
- McMillan, P. J. “التوزيع الكتلي وإمكانات الجاذبية لمجرة درب التبانة.” الإشعارات الشهرية للجمعية الفلكية الملكية، 2017.
- McMillan, P. J. “نماذج كتلة درب التبانة.” arXiv, 2011.
- كاوتون وآخرون. “المظهر الجانبي للكتلة الكلية لمجرة درب التبانة كما استُنتج من Gaia DR2.” تُصمم الورقة البحثية مجرة درب التبانة مع انتفاخ، وقرص رفيع، وقرص سميك، وقرص عالي الكثافة، وقرص غاز جزيئي، وغاز محيط المجرة، وهالة مظلمة.
- ماراسكو وآخرون “توزيع وحركية الغاز الذري والجزيئي داخل الدائرة الشمسية”. تضع هذه الدراسة نموذجاً لغاز المجرة باستخدام الحلقات وتلائم بيانات HI وCO.
الكتلة المرئية
لتقدير الكتلة المرئية لمجرة درب التبانة عند أي نصف قطر من الأقطار، اختر قيمة r بالكيلو بكسل وأدخلها في
لإجراء عملية حسابية أولى، استخدم معادلة القرص النجمي الأبسط. ثم أضف غاز HI وغاز H₂ للحصول على نموذج قرص مرئي أكثر اكتمالاً.