La masse du disque de la Voie Lactée en fonction du rayon
TL;DR
La masse visible du disque de la Voie Lactée peut être modélisée comme la somme de plusieurs composantes : le disque stellaire fin, le disque stellaire épais, le gaz d’hydrogène atomique HI et le gaz d’hydrogène moléculaire H₂.
L’équation la plus utile est la suivante :
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)où r est la distance du centre galactique en kiloparsecs, ou kpc.
Pour la partie stellaire du disque, en utilisant les paramètres de la Voie lactée communément adoptés à partir du modèle de masse galactique de McMillan, la masse à l’intérieur du rayon r est :
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)avec r en kpc et la masse en masses solaires, M⊙.
Cette équation décrit la masse stellaire visible du disque de la Voie lactée en fonction de la distance au centre galactique.
Équation finale pour la masse du disque visible
Le disque visible de la Voie Lactée peut être écrit comme suit :
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)La partie stellaire est la plus propre :
\(M_{\mathrm{disque,étoiles}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)Utilisation des paramètres numériques :
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)où :
- r = distance du centre galactique en kpc
- Mdisk,stars = masse du disque stellaire à l’intérieur du rayon r
- M⊙ = une masse solaire
Les paramètres utilisés ici proviennent du modèle de masse de la Voie lactée de McMillan de 2017, qui donne un rayon solaire R₀ = 8,20 ± 0,09 kpc, une vitesse circulaire v₀ = 232,8 ± 3,0 km/s, et une masse stellaire totale (54,3 ± 5,7) × 10⁹ M⊙.
Le disque de la Voie Lactée est constitué d’anneaux
Pour comprendre l’équation de la masse, il suffit d’imaginer que le disque galactique est découpé en plusieurs anneaux circulaires minces.
Chaque anneau a :
\(\mathrm{circonférence}=2\pi r\) \(\mathrm{largeur}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)Si la densité de masse en surface du disque est Σ(r), alors la masse d’un anneau mince est :
\(dM=2\pi r\,\Sigma(r)\,dr\)La masse à l’intérieur du rayon r est obtenue en additionnant tous les anneaux depuis le centre jusqu’à r :
\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)C’est l’idée mathématique de base qui sous-tend l’équation de la masse du disque.
L’équation du disque exponentiel
Le disque stellaire de la Voie lactée est généralement approximé par une densité de surface exponentielle :
\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)où :
- Σ₀ = densité de masse de la surface centrale
- Rd = longueur d’échelle du disque
- r = distance par rapport au centre galactique
La longueur d’échelle Rd nous indique à quelle vitesse le disque devient moins dense à mesure que nous nous déplaçons vers l’extérieur.
La substitution de cette densité dans l’équation de l’anneau donne :
\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)La résolution de l’intégrale donne
\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)C’est la principale équation utilisée pour le disque stellaire.
Composant 1 – Le disque stellaire mince
Le disque fin est la partie brillante et plate de la Voie lactée où se forment les étoiles. Il contient de jeunes étoiles, de nombreuses étoiles semblables au Soleil, du gaz, de la poussière et les bras spiraux.
Pour le disque stellaire mince :
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)Depuis :
\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)nous écrivons :
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)La masse à l’intérieur du rayon r est :
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)C’est pourquoi :
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)La masse totale du disque mince est obtenue en prenant r → ∞ :
\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)Composant 2 – Le disque stellaire épais
Le disque épais est plus ancien, plus étendu verticalement et plus diffus que le disque mince. Ses étoiles se déplacent plus loin au-dessus et au-dessous du plan galactique.
Pour le disque stellaire épais :
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)Ainsi :
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)La masse à l’intérieur du rayon r est :
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)C’est pourquoi :
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)La masse totale du disque épais est de
\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)Masse du disque stellaire : Disque mince + Disque épais
L’addition des deux composantes stellaires donne
\(M_{\mathrm{disque,étoiles}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)\)ou :
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)A très grand rayon :
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)Ainsi, dans ce modèle, le disque stellaire visible de la Voie lactée contient environ :
45,7 milliards de masses solaires
Composant 3 – Hydrogène atomique gazeux, HI
Le disque de la Voie lactée contient également du gaz visible. Le premier composant gazeux important est l’hydrogène atomique, écrit HI.
Contrairement au disque stellaire, le gaz n’est pas bien décrit par un simple disque exponentiel. Il présente une dépression centrale, ou « trou », de sorte qu’une meilleure forme est :
\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)Pour HI :
\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)La masse à l’intérieur du rayon r est :
\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)Cette équation dit : prenez la masse totale de HI et multipliez-la par la fraction du disque HI contenue dans le rayon r.
Composant 4 – Hydrogène moléculaire gazeux, H₂
Le deuxième composant gazeux majeur est l’hydrogène moléculaire, écrit H₂. Ce gaz est plus étroitement associé aux nuages froids et à la formation d’étoiles.
Pour H₂ :
\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)La masse à l’intérieur du rayon r est :
\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)Équation de la masse du disque visible complet
Combinaison d’étoiles et de gaz :
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Entièrement rédigé :
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)où :
- r et R sont en kpc
- M est dans M⊙
Cette équation donne la masse du disque visible de la Voie lactée à l’intérieur d’un rayon r, mesuré à partir du centre galactique.
Exemple : Masse à l’intérieur de l’orbite du soleil
Le Soleil est situé à environ :
\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)En utilisant uniquement l’équation du disque stellaire :
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)Numériquement, cela donne approximativement
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)Ainsi, à l’intérieur de l’orbite du Soleil, le disque stellaire contient déjà la majeure partie de sa masse totale.
Pourquoi utiliser des bagues ?
La méthode de l’anneau est utile car le disque d’une galaxie n’est pas une sphère.
Pour un objet sphérique, la coquille de masse au rayon r a une surface :
\(4\pi r^2\)Mais pour un disque fin, la masse est répartie sur des anneaux circulaires :
\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)C’est pourquoi les équations de masse des disques sont différentes des équations de masse des sphères.
Dans un disque :
la masse provient des anneaux
Dans une sphère :
la masse provient des coquilles
La Voie lactée contient à la fois un disque et une sphère, mais cette page se concentre sur le disque.
Ce que comprend cette équation
L’équation comprend :
| Composant | Signification | Inclus ? |
|---|---|---|
| Disque stellaire mince | Étoiles jeunes et d’âge intermédiaire près du plan galactique | Oui |
| Disque stellaire épais | Étoiles plus anciennes et plus éloignées du plan | Oui |
| Gaz HI | Hydrogène atomique | Oui |
| Gaz H₂ | Hydrogène moléculaire | Oui |
| Renflement/barre | Structure stellaire centrale | Non |
| Halo de matière noire | Composante gravitationnelle invisible | Non |
| Halo stellaire | Vieilles étoiles très diffuses | Non |
C’est pourquoi nous l’appelons la masse du disque visible, et non la masse totale de la Voie lactée.
Lien avec la masse manquante
Une fois la masse du disque visible connue, les astronomes la comparent à la masse requise par la rotation observée de la galaxie.
La masse dynamique déduite du mouvement circulaire est :
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)En unités pratiques :
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)La masse manquante est alors :
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=M_{\mathrm{dyn}}(<r)-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Pour cette page, la contribution du disque est :
\(M_{\mathrm{visible}}(<r)\approx M_{\mathrm{disque,visible}}(<r)\)Un modèle complet de la Voie lactée ajouterait également le bulbe/barre central et d’autres composants baryoniques mineurs.
Limites importantes
Ce modèle est utile, mais il n’est pas parfait.
Tout d’abord, la Voie lactée n’est pas un disque axisymétrique parfaitement lisse. Elle possède des bras spiraux, une barre centrale, des régions de formation d’étoiles et des structures locales.
Deuxièmement, le gaz est difficile à modéliser car nous l’observons depuis l’intérieur de la galaxie. Sa distance et sa rotation doivent être reconstruites à partir des données de vitesse.
Troisièmement, le disque a une épaisseur verticale. Les équations ci-dessus sont principalement des équations de densité de surface, qui sont excellentes pour les profils de masse radiaux mais ne décrivent pas tous les détails verticaux.
Quatrièmement, les paramètres dépendent du modèle galactique adopté. Le modèle de McMillan est un point de référence solide, mais différentes études peuvent donner des masses de disque, des longueurs d’échelle et des profils de gaz légèrement différents. McMillan indique explicitement les incertitudes statistiques pour les paramètres globaux clés tels que R₀, v₀, la masse stellaire, la masse virale et la densité locale de matière noire.
Glossaire
Centre galactique
Région centrale de la Voie lactée, autour du trou noir supermassif Sagittarius A*.
Kiloparsec, kpc
Unité de distance utilisée en astronomie galactique. Un kiloparsec correspond à environ 3 260 années-lumière.
Masse solaire, M⊙
La masse du Soleil. Elle est utilisée comme unité de masse standard en astronomie.
Densité de surface, Σ(r)
Masse par unité de surface du disque galactique au rayon r.
Longueur d’échelle, Rd
Distance sur laquelle la densité du disque diminue d’un facteur e.
Disque fin
Le disque plat et dense de formation d’étoiles de la Voie lactée.
Disque épais
Un disque stellaire plus ancien, plus étendu verticalement, entourant le disque mince.
HI
Gaz d’hydrogène atomique.
H₂
Gaz moléculaire d’hydrogène.
Masse dynamique
Masse nécessaire pour expliquer la vitesse orbitale observée des étoiles et du gaz.
Masse manquante
La différence entre la masse dynamique et la masse visible.
Notes sur l’accessibilité
Texte alt suggéré pour l’image :
- Alt text for diagram 1 : « Vue de face du disque de la Voie lactée divisé en anneaux circulaires autour du centre galactique ».
- Texte Alt pour le diagramme 2 : « Vue latérale de la Voie lactée montrant un disque stellaire fin noyé dans un disque stellaire plus épais et plus ancien ».
- Texte Alt pour le graphique : « Graphique montrant la masse cumulée du disque visible augmentant avec le rayon du centre galactique.
Utilisez des étiquettes lisibles telles que
- « Rayon du centre galactique, kpc »
- « Masse à l’intérieur du rayon, masses solaires
- « Disque mince
- « Disque épais
- « Disque à gaz
- « Total du disque visible »
Liens internes suggérés
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Références externes suggérées
Pour en savoir plus :
- McMillan, P. J. « La distribution de masse et le potentiel gravitationnel de la Voie lactée ». Notices mensuelles de la Société royale d’astronomie, 2017.
- McMillan, P. J. « Mass models of the Milky Way », arXiv, 2011.
- Cautun et al. « The Milky Way total mass profile as inferred from Gaia DR2 ». L’article modélise la Voie lactée avec un bulbe, un disque mince, un disque épais, un disque HI, un disque de gaz moléculaire, du gaz circumgalactique et un halo sombre.
- Marasco et al. « Distribution and kinematics of atomic and molecular gas inside the Solar circle » (Distribution et cinématique du gaz atomique et moléculaire à l’intérieur du cercle solaire). Cette étude modélise le gaz galactique à l’aide d’anneaux et ajuste les données HI et CO.
Masse visible
Pour estimer la masse visible de la Voie lactée à n’importe quel rayon, choisissez une valeur de r en kpc et insérez-la dans :
Pour un premier calcul, utilisez l’équation la plus simple du disque stellaire. Ajoutez ensuite le gaz HI et H₂ pour obtenir un modèle de disque visible plus complet.